КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Задание 1.8.
а)
9х11 – 7х8 + 3х
Lim -------------------
х®∞ 2х11 – 4х2 + 1
Предел вида ∞/∞ вычисляют по правилу Лопиталя:
Lim f(x)/j(x) = Lim f’(x)/j’(x)
9х11 – 7х8 + 3х = x(9х10 – 7х7 + 3)
(9х11 – 7х8 + 3х)’ = [x(9х10 – 7х7 + 3)]’ =
= x’(9х10 – 7х7 + 3) + x(9х10 – 7х7 + 3)’ =
= (9х10
– 7х7 + 3) + (90x10
– 49x7) =
= 99x10 – 56x7
+ 3
(2х11 – 4х2
+ 1)’ = 22x10 – 8x
Поскольку первый шаг не дал результатов, применяем правило Лапиталя вторично:
(99x10 – 56x7 +
3)’ = 990x9
– 56x7
(22x10 – 8x)’ = 220x9
– 8
Второй шаг также не дал положительных результатов, поэтому применяем правило Лапиталя в третий раз:
(990x9 – 56x7)’ = 8910x8 – 392x6
(220x9 – 8)’ = 1980x8
Разделив числитель на знаменатель, получаем:
(8910x8 – 392x6)/1980x8 = 4,5 – 0,198x-2
Lim (4,5 – 0,198x-2) = 4,5
x®∞
б)
х2 - 25
Lim --------------
х®5 2х2 – 6х - 20
Применяем правило Лапиталя.
(х2 – 25)’ = 2x
(2х2 – 6х – 20)’ = 4x – 6
Применяем правило Лапиталя вторично.
(2x)’ = 2
(4x – 6)’ = 4
х2 – 25 2
Lim -------------- = --- = 2
х®5 2х2 – 6х – 20 4
в)
√(1+3x) - 4
Lim --------------
х®5 x – 5
Применяем правило Лапиталя.
(√(1+3x) – 4)’ = (√(1+3x))’*(1+3x)’ = 3/2√(1+3x)
(x – 5)’ = 1
Разделив числитель на знаменатель, и вместо х подставив 5 получаем:
√(1+3x) – 4 3
Lim -------------- = --------- = 3/8
х®5 x – 5 2√(1+3*5)
г)
tg5x
Lim ------
х®0 sin7x
Применяем правило Лапиталя.
(tg5x)’ = 5/cos25x
(sin7x)’ = 7cos7x
Разделив числитель на знаменатель, получаем:
5/(cos25x * 7cos7x)
Поскольку cos0 = 1, то получаем:
tg5x
Lim ------ = 5
х®0 sin7x
д)
Lim = [1 – (7/x)]x+1
x®∞
Применяем правило Лапиталя для степенных функций.
F(x) = [1 – (7/x)]x+1
ln[F(x)] = ln{[1 – (7/x)]x+1}
=
= (x+1)ln[1 – (7/x)]
Преобразуем полученное выражение к виду:
ln[1 – (7/x)]
---------------
1/(x+1)
Применяем правило Лапиталя для пределов вида 0/0.
(ln[1 – (7/x)])’ = 1/x2[1 – (7/x)]
[1/(x+1)]’ = 1/(x+1)2
Делим числитель на знаменатель, получаем:
(x+1)2
----------
x2[1 – (7/x)]
Первый шаг не дал результатов, поэтому применяем правило Лапиталя вторично:
[(x+1)2]’ = 2(x+1)
{x2[1 – (7/x)]}’ = 2x[1 –
(7/x)] + 7x2/x2
Второй шаг также не дал положительных результатов, поэтому применяем правило Лапиталя еще раз.
[2(x+1)]’ = 2
{2x[1 – (7/x)] + 7}’ = 2[1-(7/x)] +
14x/x2 = 2
Разделив числитель на знаменатель, получаем:
Lim = [1 – (7/x)]x+1 = 2/2 = 1
x®∞
е)
Lim [√(3x2 + 7x +2) - √3x]
x®∞
Предел разности равен разности пределов.
Lim (√(3x2 + 7x + 2) - √3x) =
x®∞
= Lim (√(3x2 + 7x + 2) - Lim√3x
x®∞
x®∞
Применяем следующее правило
преобразования:
j - y = (1/y - 1/j):(1/jy)
√(3x2 + 7x +2)-√3x
= {[1/√3x]–[1/√(3x2
+ 7x + 2)]}:
:[1/√3x*√(3x2 + 7x +
2)]
Применяем правило Лапиталя.
Для числителя:
{[1/√3x]–[1/√(3x2 + 7x + 2)]}’ =
= [1/√3x]’ – [1/√(3x2 + 7x + 2)]’ =
= (-3/6x√3x)
+ (6x+7)/2(3x2+7x+2)√(3x2+7x+2)
Для знаменателя:
[1/√3x*√(3x2 + 7x + 2)]’
Введем новые переменные:
V = 3x
U = (3x2 + 7x + 2)
Тогда
[1/√3x*√(3x2 + 7x + 2)]’ = [1/√V*U]’
[1/√V*U]’ = -(V*U)’/2V*U√V*U
(V*U)’ = V’U + V*U’
V’ = (3x)’ = 3
U’ = (3x2 + 7x + 2)’ = 6x
+ 7
(V*U)’ = 3(3x2 + 7x + 2) + 3x(6x + 7) =
= 27x2 +42x + 2
[1/√3x*√(3x2 + 7x + 2)]’ =
= -(27x2 +42x +2)/[6x(3x2 +7x +2)√3x(3x2 +7x +2)]
Тогда функция (1/y - 1/j)’:(1/jy)’ преобразуется к виду:
(-3/6x√3x) + (6x+7)/2(3x2+7x+2)√(3x2+7x+2)
Lim(j-y)= -----------------------------------------
-(27x2 +42x +2)/[6x(3x2 +7x +2)√3x(3x2 +7x +2)]
Принятая замена разности не дала результатов, поэтому представим разность как:
j-y = [(j/y) –
1]:(1/y)
Применяем
правило Лапиталя.
[(j/y) – 1]’ = (j/y)’ =
j’y - jy’
= --------------
y2
j = √(3x2 + 7x +2)
y = √3x
j’ = [√(3x2+7x+2)]’ = (6x+7)/2√(3x2+7x+2)
y’ = (√3x)’
= 3/(2√3x)
y2 = (√3x)2
= 3x
j’y = √3x *[(6x+7)/2√(3x2+7x+2)]
jy’ = [√(3x2+7x+2)]*[3/(2√3x)]
(6x+7)√3x 3√(3x2+7x+2)
j’y-jy’ = --------- -
------------ =
2√(3x2+7x+2) 2√3x
6x(6x+7)
- 6(3x2+7x+2)
= ---------------------- =
4√3x(3x2+7x+2)
18x2 + 35x – 2
= ---------------- =
4√3x(3x2+7x+2)
j’y - jy’ 18x2 + 35x – 2
=
------------ = ----------------
y2 12√(9x4+21x3+6x2)
В связи с тем, что при дифференциации подкоренное выражение не поддается преобразованию, заданная функция не имеет предела при х ® ∞
Задание № 2.8.
1. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных (а-д).
2. Вычислить предел функции с помощью правила Лапиталя (е).
а) y = 3x3lnx – x3
y’ = (3x3lnx – x3)’
(3x3lnx – x3)’
= (3x3lnx)’ – (x3)’
(x3)’ = 3x2
(3x3lnx)’
Введем новые переменные:
U = 3x3
V = lnx
(3x3lnx)’ = (UV)’ = UV’ +
U’V
U’ = (3x3)’ = 9x2
V’ = (lnx)’ = 1/x
(UV)’ = 3x2 + 9x2lnx
(3x3lnx – x3)’
= 3x2 + 9x2lnx - 3x2 = 9x2lnx
y’ = 9x2lnx
б)
3
y = ctg5e-2x
Введем новые переменные:
V = 2x; V’ = 2
U = e-V; U’ = (e-V)’ = V’e-V;
Q = ctgU; Q’ = (ctgU)’ = -U’/sin2U
y’ = (Q5)’ = 5Q’Q4 = -5U’ctg4U/sin2U
=
= -5V’e-Vctg4e-V/sin2e-V
=
= 10e-2xctg4e-2x/sin2e-2x
3
Y’ = (ctg5e-2x)’
= 10e-2xctg4e-2x/sin2e-2x
в)
x3 + y3 – 6xy – 7 = 0
(x3 + y3 – 6xy – 7)’ = 0
(x3)’ + (y3)’ –
6(xy)’ – (7)’ = 0
3x2 + 3y2 – 6(x+y) = 0
x2 + y2 – 2x - 2y = 0
г)
x – e2x
y = -------
x + e2x
Вводим новые переменные.
U = x – e2x
U’ = 1 - e2x
V = x + e2x
V’ = 1 + e2x
VU’ – UV’
y’ = ---------
V2
(x + e2x)( 1 - e2x)
– (x – e2x)(1 + e2x)
y’ = --------------------------------------
(x + e2x)2
x - xe2x + e2x – e4x
- x – xe2x + e2x + e4x
y’ = ----------------------------------------
=
(x + e2x)2
2e2x(1 – x)
y’ = -----------
(x + e2x)2
д)
ìх = tgt
í
îy
= cos2t
x’ = (tgt)’ = 1/cos2t
y’ = -2sint
e)
e3x – 5x - 1
Lim ---------------
х®0 х – (1 – cos2х)
Применяем правило Лапиталя.
(e3x – 5x – 1)’ = (e3x)’
– (5x)’ – (1)’ = e3x - 5
[х –(1–cos2х)]’ = (х)’ – (1)’ – (cos2х)’ = 1+2sin2x
При х ® 0
e3x – 5 = -4
1+2sin2x = 1
Lim f(x) = -4
х®0
Задание № 3.8.
Построить график функции y=f(x), используя общую схему исследования функции.
а)
x3
y = -- - x2 – 3x
3
1) Определение нулей функции:
При х=0 y=0
x3 – 3x2 – 9x = 0
x2 – 3x – 9 = 0
x1,2 = 1,5±√((1,5)2 + 9) = 1,5±3,4
x1 = 4,9
x2 = - 1,9
Функция пересекает ось абсцисс в трех точках:
х=-1,9 х=0; х=4,9
2) Дифференцируемость функции:
Функция дифференцируема если существует предел
f’(x) = lin[f(x+Dx)-f(x)]/Dx
При х=0 и Dx = 1; yx=0; yx+Dx=-11/3; f’(x)=-11/3
При х=-1,9 и Dx = 1; yx=-0,2; yx+Dx=1,65; f’(x)=1,85
При х=4,9 и Dx = 1; yx=0,51; yx+Dx=15,95; f’(x)=15,44
Функция дифференцируема.
3) Нахождение асимптот и точек разрыва:
Функция обладает асимптотой, если существует предел
lim[f(x)/x]
x→∞
lim[f(x)/x] = x2/3 – x – 3 = ∞
x→∞
Следовательно, функция не имеет ассимтоты.
Функция обладает точками разрыва, если при х®а y®∞
Таких точек у функции нет, следовательно, она не имеет точек разрыва.
4) Признак достаточного условия существования экстремума:
Если функция дважды дифференцируема в точке xi и первая производная в этой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке больше нуля, то функция в этой точке имеет минимум, если вторая производная в этой точке меньше нуля, то функция в этой точке имеет максимум.
f’(x)
= (x3/3 – x2 – 3x)’ = (x3/3)’ – (x2)’
– (3x)’ =
= 2x2 – 2x - 3
2x2
– 2x – 3 = 0; x2 – x – 1,5 = 0;
X1,2
= 0,5±√((0,5)2 + 3); x1 = -1,3; x2 = 2,2
f’’(x)
= (2x2 – 2x – 3)’ = (2x2)’ – (2x)’ – (3)’ =
= 4x - 2
При x1 = -1,3 f’’(x) = -7,2 < 0, следовательно, функция в этой точке имеет максимум.
При x1 = 2,2 f’’(x) = 6,8 > 0, следовательно, функция в этой точке имеет минимум
5) Признак достаточного условия существования точки перегиба функции:
Если вторая производная функции при переходе через точку меняет знак, то функция в этой точке имеет перегиб, т.е. функция в этой точке меняет вогнутость.
Если в данной точке производная (n-1)-го порядка обращается в ноль, а производная n-го порядка (не четная) не обращается в ноль, то в этой точке функция имеет перегиб.
f’’(x) = 0, при 4x-2 = 0, данная функция обращается в ноль ни при х=1/2, это и есть точка перегиба функции.
f’’’(x) = (4x – 2)’ = 4
Так как третья производная (n) не обращается в нуль, а вторая производная (n-1) в точке х=1,2 обращается в нуль, это значение соответствует точке перегиба функции.
б)
(x + 1)2
y = --------
x – 2
1) Определение нулей функции:
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 = 0
x1,2 = -1±√(1-1) = -1
Функция пересекает ось абсцисс в точке х=-1.
2) Дифференцируемость функции:
Функция дифференцируема, если существует предел
f’(x) = lin[f(x+Dx)-f(x)]/Dx
При х=-1 и Dx = 1; yx=0; yx+Dx=-1/2; f’(x)=-1/2
Функция дифференцируема.
3) Нахождение асимптот и точек разрыва:
Функция обладает асимптотой, если существует предел
lim[f(x)/x]
x→∞
lim[f(x)/x] = lim(x + 1)2/х(х-2)
x→∞
[(x + 1)2]’ = (x2)’ + (2x)’ + (1)’ = 2x + 2
[х(х-2)]’ = (x2)’ - (2x)’ = 2x – 2
[2x + 2]’ = 2
[2x - 2]’ = 2
lim[f(x)/x] = 1
x→∞
Асимптота функции y=1.
Функция обладает точками разрыва, если при х®а y®∞
x – 2 = 0; x = 2
Функция имеет разрыв в точке х=2.
4) Признак достаточного условия существования экстремума:
Если функция дважды
дифференцируема в точке xi и первая производная в этой точке равна нулю, а вторая
производная в этой точке больше нуля, то функция в этой точке имеет минимум,
если вторая производная в этой точке меньше нуля, то функция в этой точке имеет
максимум.
y’ = [(x + 1)2/(х-2)]’
Введем новые переменные.
U = (x + 1)2
U’ = 2(x + 1)
V = x – 2
V’ = 1
y’ = (VU’-UV’)/V2 =
=
2(x-2)(x+1)-(x + 1)2/(x-2)2 = (x2-4x-5)/(x-2)2
Так как первая производная функции не равна нулю, то, следовательно, функция не имеет экстремумов.
5) Признак достаточного условия существования точки перегиба функции:
Если вторая производная функции при переходе через точку меняет знак то функция в этой точке имеет перегиб, т.е. функция в этой точке меняет вогнутость.
Если в данной точке производная (n-1)-го порядка обращается в ноль, а производная n-го порядка (не четная) не обращается в ноль, то в этой точке функция имеет перегиб.
f’’(x) = [(x2-4x-5)/(x-2)2]’
Вводим новые переменные.
U = (x2-4x-5)
U’ = 2x-4
V = x2-4x+4
V’ = 2x-4
f’’(x) = (VU’-UV’)/V2 =
= [(x2-4x+4)(2x-4)-(x2-4x-5)(2x-4)]/(x2-4x+4)2
Данная функция не обращается в ноль ни при каких значения х.
Задание 4.8.
Найти неопределенные интегралы и для интегралов под пунктами (б) и (в) произвести проверку полученного результата.
а)
∫[(20/4√x)
– (5/(5-x2)]dx
Интеграл разности равен разности интегралов.
∫[(20/4√x)dx – ∫(5/(5-x2)]dx
∫[(20/4√x)dx = 20∫x-1/4dx
= 80x3/4/3
∫(5/(5-x2)]dx = 5∫(5-x2)-1dx
=
=
5(1/2√5)[ln(√5+x)/(√5-x)]
∫[(20/4√x) – (5/(5-x2)]dx =
= (80x3/4/3) –
{5(1/2√5)[ln((√5+x)/(√5-x))]}
б)
∫[x2/(x3+8)5]dx
Вводим переменную z
= x3+8; dz = 3x2dx; x2dx
= dz/3
∫[1/3z5]dz = -1/12z4 = -1/12(x3+8)4
Проверяем:
d[-1/12(x3+8)4] = -1/12d[1/(x3+8)4]
=
= (-1/12)(-4)3x2/(x3+8)5
=
= x2/(x3+8)5
в)
∫arccos7xdx
∫arccos7xdx = [xarccos7x] - √[(1/49-x2]
Проверяем:
d{([xarccos7x] - √[(1/49-x2]}
=
= d([xarccos7x] - d√[(1/49-x2]
[xarccos7x]’ = x(arccos7x)’ + (x)’arccos7x =
-7x/√(1-49x2) + arccos7x
{√[(1/49-x2]}’ = -7x/√(1-49x2)
-7x/√(1-49x2) + arccos7x +
7x/√(1-49x2) =
= arccos7x
г)
∫(19
– 4x)/(2x2
+ x - 3)dx
Вводим новые переменные.
U = (19 – 4x); dU = -4dx
dV = dx/(2x2
+ x
- 3)
∫UdV = UV - ∫VdU
Для
вычисления этого интеграла важно знать значение дискриминанта функции (2x2
+ x - 3).
D = 4ас – b2
= -25
При D < 0 интеграл имеет следующее решение:
∫dV = (1/5)ln[(8x-4)/(8x+6)]
∫UdV = (1/5)(19–4x)ln[(8x-4)/(8x+6)] –
- ∫(-4/5)ln[(8x-4)/(8x+6)]
д)
∫(5x3
+ 2)/(x3
– 5x2
+ 4x)dx
Вводим новые переменные.
U = (5x3 + 2); dU = 15x2dx
dV = dx/x(x2 – 5x + 4)
∫UdV = UV - ∫VdU
V = ∫dV = ∫[1/x(x2
– 5x
+ 4)]dx
Для вычисления этого интеграла важно знать значение дискриминанта
функции (x2 – 5x + 4).
D
= 4ас – b2
= -9
При D
< 0 интеграл имеет следующее решение:
∫dV = (1/8)ln[x2/(x2 – 5x + 4) –
-
5/8{(-2/3)Arth[(2x-5)/3]}
∫UdV = (5x3+2){(1/8)ln[x2/(x2–5x+4)]–
-
5/8{(-2/3)Arth[(2x-5)/3]}
–
- ∫15x2{(1/8)ln[x2/(x2–5x+4)]–
-
5/8{(-2/3)Arth[(2x-5)/3]}dx
е)
∫[√x/((4√x)+1)]dx
Введем новые переменные:
dV = (√x)dx; V = 2x3/2/3
U = 1/(4√x+1);
dU = {-x3/4/[4(4√x)+1]}dx
∫UdV = UV - ∫VdU
∫UdV = 2x3/2/3(4√x+1) - ∫{-2x9/4/12[(4√x)+1]}dx